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Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen

Darstellende Geometrie des Geländes
und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen
Category:
Author: Rothe Rudolf
Title: Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen
Release Date: 2018-10-21
Type book: Text
Copyright Status: Public domain in the USA.
Date added: 27 March 2019
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Cover

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematiku. Physik. Unter Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von

Dr. W. Lietzmann

Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

und

Dr. A. Witting

Studienrat, Gymnasialprof. in Dresden

Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren. kl. 8. Kart. je M. 2.–

Hierzu Teuerungszuschlag des Verlages 120% (Abänderung vorbeh.) u. d. Buchhandl.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folgeherausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischenWissenschaften haben, es in angenehmer Formzu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinauszu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcherelementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besondereswissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln,die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine Kenntnissezu steilen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen (1912/20):

Der Begriff der Zahl in seiner logischen undhistorischen Entwicklung. Von H. Wieleitner.2., durchgeseh. Aufl. (Bd. 2.)

Ziffern und Ziffernsysteme. Von E. Löffler.2., neubearb. Aufl. I: Die Zahlzeichen deralten Kulturvölker. (Bd. 1.) II: Die Z. imMittelalter und in der Neuzeit. (Bd. 34.)

Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen.Von H. Wieleitner. 2. Aufl. (Bd. 7.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung.Von A. Witting. 2. Aufl. I: Die Differential-,II: Die Integralrechnung. (Bd. 9 u. 41.)

Wahrscheinlichkeitsrechnung. V. O. Meißner.2. Auflage. I: Grundlehren. (Bd. 4.)II: Anwendungen. (Bd. 33.)

Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlentheorie.Von A. Leman. (Bd. 19.)

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblickauf das Fermatsche Problem. VonW. Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 3.)

Darstellende Geometrie des Geländes undverw. Anwendungen der Methode derkotierten Projektionen. Von R. Rothe.2., verb. Aufl. (Bd. 35/36.)

Methoden zur Lösung geometrischer Aufgaben.Von B. Kerst. (Bd. 26.)

Einführung in die projektive Geometrie. VonM. Zacharias. (Bd. 6.)

Konstruktionen in begrenzter Ebene. VonP. Zühlke. (Bd. 11.)

Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene.Von W. Dieck. (Bd. 31.)

Einführung in die Nomographie. Von P.Luckey. I. Teil: Die Funktionsleiter.(Bd. 28.) II. Teil: Die Zeichnung als Rechenmaschine.(Bd. 37.)

Theorie und Praxis des logarithm. Rechenschiebers.Von A. Rohrberg. 2. Aufl. (Bd. 23.)

Die Anfertigung mathemat. Modelle. (FürSchüler mittl. Kl.) Von K. Giebel. (Bd. 16.)

Karte und Kroki. Von H. Wolff. (Bd. 27.)

Die Grundlagen unserer Zeitrechnung. VonA. Baruch. (Bd. 29.)

Die mathemat. Grundlagen d. Variations- u.Vererbungslehre. Von P. Riebesell. (24.)

Mathematik und Malerei. 2 Teile in 1 Bande.Von G. Wolff. (Bd. 20/21.)

Der Goldene Schnitt. Von H. E. Timerding.2. Aufl. (Bd. 32.)

Beispiele zur Geschichte der Mathematik. VonA. Witting und M. Gebhard. (Bd. 15.)

Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ahrens.2. Aufl. (Bd. 18.)

Die Quadratur d. Kreises. Von E. Beutel.2. Aufl. (Bd. 12.)

Wo steckt der Fehler? Von W. Lietzmannund V. Trier. 2. Aufl. (Bd. 10.)

Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph.Maennchen. 2. Aufl. (Bd. 13.)

Riesen und Zwerge im Zahlenreiche. VonW. Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 25.)

Was ist Geld? Von W. Lietzmann. (Bd. 30.)

Die Fallgesetze. V. H. E. Timerding. (Bd. 5.)

Ionentheorie. Von P. Bräuer. (Bd. 38.)

Das Relativitätsprinzip. Leichtfaßlich entwickeltvon A. Angersbach. (Bd. 39.)

Dreht sich die Erde? Von W. Brunner. (17.)

Theorie der Planetenbewegung. Von P.Meth. (Bd. 8.)

Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instrumenten.Von Fr. Rusch. 2. Aufl. (Bd. 14.)

Mathem. Streifzüge durch die Geschichte derAstronomie. Von P. Kirchberger. (Bd. 40.)

In Vorbereitung:

Doehlemann, Mathematik und Architektur. Schips, Mathematik und Biologie. Winkelmann,Der Kreisel. Wolff, Feldmessen und Höhenmessen.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Preise freibleibend.


MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHEBIBLIOTHEK

HERAUSGEGEBEN VON W. LIETZMANN UND A. WITTING

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DARSTELLENDE GEOMETRIEDES GELÄNDES

UND VERWANDTE ANWENDUNGEN DER METHODEDER KOTIERTEN PROJEKTIONEN

VON

RUDOLF ROTHE

DR. PHIL., O. PROFESSOR AN DERTECHN. HOCHSCHULE BERLIN

ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE

MIT 107 FIGUREN IM TEXT

Signet

1919
LEIPZIG UND BERLIN
VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER


Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika:
Copyright 1919 by B. G. Teubner in Leipzig.

ALLE RECHTE,
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.


[iii]

VORWORT ZUR ERSTEN UNDZWEITEN AUFLAGE

In der vorliegenden kleinen Schrift habe ich versucht,den Leser in elementarer und leicht verständlicher Weisemit der zeichnerischen Behandlung der topographischenFlächen nach der Methode der »kotierten Projektionen« bekanntzu machen. Die glückliche Paarung zwischen Rechnungund Zeichnung, auf der diese Methode beruht, diedarin begründete Freiheit, sich auch an kompliziertere Aufgabenmit Aussicht auf Erfolg zu wagen, und daher weiterdas unbewußte Gefühl, hier wenigstens der »selbstgeschaffenenSchmerzen« der Mathematiker ledig zu sein, dasalles gibt diesem Schwestergebiete der darstellenden Geometrieeinen besonderen Reiz. Er wird noch erhöht durchdie fast unmittelbare Anwendbarkeit auf praktische Fragen.Ich habe auf diese Anwendungen großes Gewicht gelegt;sie entstammen zum Teil dem geologisch-bergmännischenGesichtskreis und rühren aus der Zeit, als ich an der ClausthalerBergakademie einiges aus diesem Gebiete in elementarenVorlesungen über darstellende Geometrie vortrug …

In der zweiten Auflage, die dem Büchlein trotz der Ungunstder Zeiten beschieden ist, konnten mehrere sachlicheund sprachliche Verbesserungen und Ergänzungen angebrachtwerden; so insbesondere in den §§ 63 und 64, wo,wie ich glaube, der Begriff des Talwegs jetzt einwandfreierklärt worden ist. Auch wurde auf mehrfach geäußertenWunsch ein kurzer Abschnitt über Anwendungen auf diezeichnerische Analysis und die Nomographie hinzugefügt.Bezüglich der Abbildungen, die schon wegen des Formates[iv]nicht mehr als einen bloßen Anhalt zum Anfertigen vonReinzeichnungen geben wollen, konnte ich mich auch ausäußeren Gründen nicht entschließen, größere Änderungenvorzunehmen. Wer aus dem Buche ernsthaft lernen will,wird gewiß nicht unterlassen, sich Reinzeichnungen im passendenMaßstabe selbst herzustellen. Übrigens ist es einUnterschied, ob es sich um eine Reinzeichnung handelt, wiesie in den Übungen zur darstellenden Geometrie gefordertwird, oder um eine Konstruktion an einer topographischenoder geologischen Geländekarte; hier wird manche Zeichnungdoch nicht viel größer ausfallen als die Abbildungendieses Bändchens.

Am Schluß ist ein alphabetisches Sachverzeichnis angefügtworden. Der erweiterte Umfang hat es erfordert, dasBuch als Doppelbändchen herauszugeben.

Berlin, im April 1919.

RUDOLF ROTHE


[v]

INHALT

Seite
Einleitung1
I. Grundbegriffe und elementare Konstruktionen überkotierte Projektionen §§ 1–22 2–18
§ 1. Kotierte Projektion. S. 2.§ 2. Maßstab der Zeichnung. 3.§ 3. Einschalten eines Punktes. 4.§ 4. Stufung (Graduierung) einer Geraden. 4.§ 5. Intervall. 5.§ 6. Schnitt zweier Geraden. 5.§ 7. Ebene. 6.§ 8. Gefällemaßstab. 6.§ 9. Aufgabe. 7.§ 10. Böschung, Fallen und Streichen. 7.§ 11. Aufgabe. 8.§ 12 Schnittgerade zweier Ebenen. 8.§ 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. 9.§ 14. Ebenen gleicher Böschung. 10.§ 15. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. 10.§ 16. Lot von einem Punkte auf eine Ebene. 11.§ 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden. 11.§ 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die wagerechte Lage. 12.§ 19. Schnittwinkel zweier Ebenen. 13.§ 20. Böschungskegel. 15.§ 21. Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel, Kugel. 16.§ 22. Andere Oberflächen. 16.
II. Elementare Anwendungen §§ 23–34 18–25
§ 23. Zweck der Anwendungen. 18.§ 24. Aufführung eines Dammes. 18.§ 25. Querprofil. 19.§ 26. Anlage eines ebenen Platzes. 19.§ 27. Weg gegebener Steigung. 20.§ 28. Streichen und Fallen einer Ebene. 21.§ 29. Dachausmittelung. 21.§ 30. Aufgabe. 22.§ 31. Fortsetzung. 22.§ 32. Aufschüttung einer Halde. 22.§ 33. Ausschachten einer Grube. 24.§ 34. Tunnelmündung. 24.
III. Darstellung der Geländeflächen §§ 35–73 26–53
§ 35. Hauptschichtlinien. 26.§ 36. zeichnerische Bemerkungen. 26.§ 37. Storchschnabel. 27.§ 38. Glatte Kurve. 27.§ 39. Spiegellineal. 28.§ 40. Tangente. 28.§ 41. Hüllkurve. 28.§ 42. Evolute. 29.§ 43. Parallelkurven. 29.§ 44. Berührungen im Raume. 29.§ 45. Relief eines Geländes. 30.§ 46. Kurven auf einer Geländefläche. 30.§ 47. Darstellung einer Raumkurve. 30.§ 48. Einschalten von Punkten und Konstruktion von Schichtlinien. 31.§ 49. Böschung einer Raumkurve. 32.§ 50. Böschungslinie. 32.§ 51. Normalebene, Planierungsfläche. 32.§ 52. Schmiegungsebene. 33.§ 53. Hauptnormale, Binormale. 34.§ 54. Schnitt einer Fläche mit einer Ebene. 35.§ 55. Anwendung. 36.§ 56. Einschalten von Höhenlinien. 36.§ 57. Berührungsebene und Normale einer Fläche. 37.§ 58. Normalebene, Fallinien einer Fläche. 38.§ 59. Schraffur einer Karte. 39.§ 60. Krümmung einer[vi]Fläche. 39.§ 61. Verlauf der Schicht- und Fallinien. 41.§ 62. Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt. 41.§ 63. Wasserscheide und Talweg. 42.§ 64. Fortsetzung. 44.§ 65. Böschungsfläche. 47.§ 66. Böschungsstreifen. 48.§ 67. Gratlinie. 48.§ 68. Ebene Raumkurven. 48.§ 69. Böschungsflächen einer Raumkurve. 49.§ 70. Böschungslinien auf einer Fläche. 50.§ 71. Aufgabe. 51.§ 72. Schnitt zweier Flächen. 51.§ 73. Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer Geländefläche. 52.
IV. Aufgaben und Anwendungen §§ 74–88 53–67
§ 74. Zweck der Aufgaben. 53.§ 75. Aufschüttung und Abtrag eines Eisenbahndammes. 53.§ 76. Die Ausstrichlinie einer Mulde mit dem Gelände zu bestimmen. 54.§ 77. Schnittkurve einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände. 55.§ 78. Um eine gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten Mantelgeraden zu umschreiben. 56.§ 79. Durch eine gegebene Gerade die Berührungsebenen an eine Geländefläche zu legen. 56.§ 80. Umschriebener Zylinder mit beliebig gegebener Richtung der Mantelgeraden. 57.§ 81. Berührungsebene. 58.§ 82. Andere Konstruktion des umschriebenen Zylinders und der Berührungsebene. 59.§ 83. Gebrauch einer Hilfskurve. 61.§ 84. Schattengrenze. 62.§ 85. Von einem gegebenen Punkte an eine Geländefläche den Berührungskegel zu zeichnen. 62.§ 86. Beispiel. 64.§ 87. Ansicht des Geländes. a) Parallelprojektion. 65.§ 88. b) Zentralprojektion. 66.
V. Maßbestimmungen und Beziehungen zur zeichnerischenAnalysis §§ 89–107 67–89
§ 89. Längenmessung. 67.§ 90. Flächenmessung. a) Quadratteilung. 68.§ 91. b) Einteilung in Streifen gleicher Breite. 69.§ 92. c) Andere Streifeneinteilung. 69.§ 93. d) Planimeter. 70.§ 94. Geneigte Fläche. 71.§ 95. Flächeninhalt einer Böschungsfläche. 71.§ 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. 72.§ 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. 73.§ 98. Ausführung der Aufgabe. 74.§ 99. Zeichnerische Analysis. 77.§ 100. Funktionsskale. 78.§ 101. Konstruktion besonderer Funktionsskalen. 79.§ 102. Aufgabe. 81.§ 103. Zusammengesetzte Funktionsskalen. 82.§ 104. Netzteilung. 83.§ 105. Logarithmenpapier. 85.§ 106. Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch ein Rechenblatt. 87.§ 107. Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung. 88.
Alphabetisches Sachverzeichnis 90–92

[1]

EINLEITUNG

Eine Landkarte, die einen nicht zu großen Teil der Erdoberflächedarstellt, gibt im großen und ganzen das Bildwieder, das sich einem senkrecht darüber befindlichen Beobachteraus solcher Höhe darbietet, wo für ihn die Höhenunterschiededes Geländes unmerklich geworden sind. Umdiese Höhenunterschiede in der Karte dennoch kenntlich zumachen, pflegt man eine genügende Anzahl von Punktendurch beigesetzte Höhenzahlen (Koten) zu bezeichnen, dieihre senkrechte Entfernung von einer gedachten Horizontalebene,meist dem Meeresspiegel, in einer gewählten Längeneinheit,z. B. in Metern, angeben. Auf diese Weise entstehteine mehr oder weniger getreue Darstellung (kotierter Riß)der Erdoberfläche mit ihren Erhebungen und Senken; oderin allgemeinerer Bedeutung, es entsteht die Darstellung einerGeländefläche oder topographischen Fläche, worunterin der Regel eine solche verstanden wird, die von jeder Senkrechtenin genau einem Punkte geschnitten wird; bei manchen,z. B. bei geologischen Betrachtungen, ist diese Bedingungfreilich nicht immer erfüllt.

Eine auf der Fläche gelegene Linie, deren sämtliche Punktedie gleiche Höhe (Kote) haben, heißt Höhenlinie (Schichtlinie,Niveaulinie, Isohypse), bei Höhen unter dem Meeresspiegelauch Tiefenlinie (Isobathe); sie ist die Schnittlinieder Geländefläche mit einer horizontalen Ebene. Ein abgelassenerTeich läßt oft solche Schichtlinien, die Spuren frühererWasserstände, an seinen Ufern erkennen.

Die Brauchbarkeit und Anschaulichkeit der Darstellung einerGeländefläche durch eine Karte gewinnt erheblich, wenn aufihr eine genügende Anzahl von Höhenlinien der Art verzeichnetist, daß ihnen eine Einteilung der Fläche in Schichtengleicher Dicke entspricht (Schichtenplan). Auf dieser Darstellungeiner Geländefläche durch ihre Schichtlinien beruht[2]die Möglichkeit, auf zeichnerisch-konstruktiven Wegen einegroße Anzahl von Fragen und Aufgaben zu beantworten,wie sie in der Vermessungskunde, Kartenkunde, Geographie,militärischen Topographie, Bauingenieurwissenschaft, Geologie,Bergbaukunde usw. vorkommen können. Die Ausführungder Methoden, die zur zeichnerischen Lösung solcherFragen dienen, bildet ein wichtiges Mittel der angewandtenGeometrie, das sich aus praktischen Bedürfnissen heraus,ursprünglich nautischen und militärischen, entwickelt hat,zuerst in Frankreich, wo die Kenntnis derartiger Dinge nochbis vor hundert Jahren militärisch geheim gehalten wurde.

In dieses Gebiet, das zum Verständnis im allgemeinen nurwenige elementargeometrische Vorkenntnisse erfordert, unddessen Pflege wegen der sofort in die Augen springendenpraktischen Verwendbarkeit besonders reizvoll und anregendist, will die vorliegende Schrift eine Einführung geben.

Es wird zweckmäßig sein, zunächst auch auf einige grundlegendegeometrische Begriffe und Konstruktionen einzugehen,auf denen die alsdann zu besprechenden Aufgabenüber Geländeflächen beruhen.


I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONENÜBER KOTIERTE PROJEKTIONEN

§ 1. Kotierte Projektion. Ein Punkt P' des Raumes istdurch Angabe seiner senkrechten Grundrißprojektion P aufeine Horizontalebene (Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahlk seines senkrechten Abstandes (Höhenzahl, Kote) vonder Ebene, gemessen in Einheiten des Höhenmaßstabs, eindeutigbestimmt: kotierte Projektion.Eine Karte

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